مادة: الرياضيات (الجبر)

الصف: الثالث الإعدادي

الفصل الدراسي الأول

اختبار الكسور الجبرية

( تَبْسِيطُ الكُسُورِ وَتَطَابُقُ الدَّوَال )

الزمن: ساعتان

الدرجة الكلية: 30 درجة

العام الدراسي: 2026/2027

الاسم:
المدرسة:
الدرجة:    / 30
أولاً: الأداء الصفي والنشاط (12 درجة)
  1. 1) مقال - 4 درجات في الجدول التالي، صنف الكسور الجبرية في مكانها الصحيح (في أبسط صورة / ليست في أبسط صورة):
    \[ \frac{x+3}{x^2-9} \quad ، \quad \frac{7x}{x^2-3x} \quad ، \quad \frac{x}{x(x+1)} \quad ، \quad \frac{x+3}{x(x+1)} \]
    الحل:
  2. 2) نشاط - 8 درجات أثبت تطابق الكسرين الجبريين التاليين (البحث عن التوأم المتطابق):
    \[ f_1(x) = \frac{2x}{2x+4} \quad ، \quad f_2(x) = \frac{x^2+2x}{x^2+4x+4} \]
    الحل:
ثانياً: الأداء المنزلي (الواجب) (18 درجة)
  1. 3) مقال - 3 درجات أوجد المجال المشترك للدالتين \(f\) و \(g\) حيث:
    \[ f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2-x-6} \quad ، \quad g(x) = \frac{x^2-9}{x^2-5x+6} \]
    الحل:
  2. 4) مقال - 4 درجات إذا كانت \(f(x) = \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9}\) و \(g(x) = \frac{4x}{4x-12}\)، فأثبت أن \(f = g\).
    الحل:
  3. 5) مقال - 4 درجات إذا كان \(f(x) = \frac{4}{4x-20}\) و \(g(x) = \frac{x+5}{x^2-25}\)، فأثبت أن \(f(x) = g(x)\) لجميع قيم \(x\) التي تنتمي للمجال المشترك، ثم أوجد هذا المجال.
    الحل:
  4. 6) مقال - 3 درجات عين قيم \(x\) التي تجعل \(f(x) = g(x)\) إذا كان:
    \[ f(x) = \frac{x-1}{x^2-1} \quad ، \quad g(x) = \frac{1}{x+1} \]
    الحل:
  5. 7) مقال - 4 درجات إذا كان المجال المشترك للدالتين \(f(x) = \frac{x}{x-k}\) و \(g(x) = \frac{-2}{x+3}\) هو \(R - \{-3, 2\}\)، فما قيمة \(k\)؟
    الحل:

نموذج الإجابة النموذجية

( اختبار الكسور الجبرية )

أولاً: الأداء الصفي والنشاط
  1. 1) الحل:
    - الكسر الجبري في أبسط صورة: \(\frac{x+3}{x(x+1)}\) (لعدم وجود العوامل المشتركة بين البسط والمقام).
    - الكسر الجبري ليس في أبسط صورة:
      \(\frac{x+3}{x^2-9} = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)}\)
      \(\frac{7x}{x^2-3x} = \frac{7x}{x(x-3)}\)
      \(\frac{x}{x(x+1)}\)
  2. 2) الحل:
    الكسر الأول \(f_1(x)\):
    التحليل: \(f_1(x) = \frac{2x}{2(x+2)}\)
    المجال \(D_1\): \(R - \{-2\}\)
    الاختصار: \(f_1(x) = \frac{x}{x+2}\)
    الكسر الثاني \(f_2(x)\):
    التحليل: \(f_2(x) = \frac{x(x+2)}{(x+2)^2}\)
    المجال \(D_2\): \(R - \{-2\}\)
    الاختصار: \(f_2(x) = \frac{x}{x+2}\)
    بما أن \(D_1 = D_2\) و \(f_1(x) = f_2(x)\)، إذن الكسران متطابقان (\(f_1 = f_2\)).
ثانياً: الأداء المنزلي (الواجب)
  1. 3) الحل:
    أصفار مقام \(f(x)\): \(x^2-x-6 = (x-3)(x+2) = 0 \implies \{3, -2\}\)
    أصفار مقام \(g(x)\): \(x^2-5x+6 = (x-3)(x-2) = 0 \implies \{3, 2\}\)
    المجال المشترك هو: \(\mathbf{R - \{-2, 2, 3\}}\) (أو \(R - \{3, -2, 2\}\)).
  2. 4) الحل:
    \(f(x) = \frac{x(x-3)}{(x-3)^2} \implies\) المجال \(D_1 = R - \{3\}\)، والصورة المبسطة هي \(f(x) = \frac{x}{x-3}\)
    \(g(x) = \frac{4x}{4(x-3)} \implies\) المجال \(D_2 = R - \{3\}\)، والصورة المبسطة هي \(g(x) = \frac{x}{x-3}\)
    بما أن المجالين متساويان والدالتين متساويتان بعد الاختصار \(\implies \mathbf{f = g}\).
  3. 5) الحل:
    مقام \(f(x)\): \(4(x-5) = 0 \implies x = 5\)
    مقام \(g(x)\): \(x^2-25 = (x-5)(x+5) = 0 \implies x = \pm 5\)
    المجال المشترك: \(\mathbf{R - \{5, -5\}}\)
    \(f(x) = \frac{4}{4(x-5)} = \frac{1}{x-5}\)
    \(g(x) = \frac{x+5}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}\)
    إذن \(f(x) = g(x)\) لجميع القيم في المجال المشترك \(R - \{5, -5\}\).
  4. 6) الحل:
    تبسيط \(f(x) = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}\) بشرط \(x \notin \{1, -1\}\)
    تبسيط \(g(x) = \frac{1}{x+1}\) بشرط \(x \neq -1\)
    قيم \(x\) التي تجعل الدالتين متساويتين هي جميع الأعداد الحقيقية ما عدا أصفار المقامات: \(\mathbf{R - \{1, -1\}}\).
  5. 7) الحل:
    أصفار مقام \(g(x)\) هي \(x = -3\).
    إذن القيمة المستبعدة الثانية \(2\) هي صفر مقام \(f(x)\).
    نعوض بـ \(x = 2\) في مقام \(f(x)\):
    \(2 - k = 0 \implies \mathbf{k = 2}\).