الرياضيات

الوحدة الثالثة: الهندسة

ملخص شامل لدروس الوحدة الثالثة مع أمثلة وتطبيقات متنوعة

الصف الأول الإعدادي الترم الأول

١. أنواع الزوايا

منقلة توضح أنواع الزوايا

قياس أنواع الزوايا المختلفة باستخدام المنقلة

حادة

أكبر من \(0°\) وأقل من \(90°\)

قائمة

تساوي \(90°\)

منفرجة

أكبر من \(90°\) وأقل من \(180°\)

مستقيمة

تساوي \(180°\)

منعكسة

أكبر من \(180°\) وأقل من \(360°\)

مثال:

إذا كان \(m(\angle A) = 50°\) فإن الزاوية المنعكسة المقابلة لها:

\[ 360° - 50° = 310° \]

٢. العلاقات بين الزوايا

زاويتان متكاملتان

زاويتان متتامتان

مجموع قياسيهما \(90°\)

قياس زاوية \((A) = 90° - m(\angle B)\)

زاويتان متتامتان

زاويتان متكاملتان

مجموع قياسيهما \(180°\)

قياس زاوية \((A) = 180° - m(\angle B)\)

زاويتان متجاورتان بالرأس ومتطابقتان

الزاويتان المتجاورتان بالرأس متطابقتان (متساويتان في القياس)

مثال:

إذا كان \(m(\angle 1) = m(\angle 2)\) بالتقابل بالرأس، وكان \(m(\angle 1) = 36°\) فإن قياس المتمم له:

\[ 90° - 36° = 54° \]

٣. منصف الزاوية والزوايا حول نقطة

منصف الزاوية:

هو الشعاع الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين في القياس.

منصف الزاوية

\(BD\) ينصف \(\angle ABC\)

الزوايا المتجمعة حول نقطة:

مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة يساوي \(360°\).

زوايا متجمعة حول نقطة

زوايا متجمعة حول نقطة واحدة

مثال:

أوجد قياس \(m(\angle AMB)\) إذا كانت باقي الزوايا حول النقطة \(90°, 87°\):

\[ \begin{gathered} m(\angle AMB) = 360° - (90° + 87°) \\ = 133° \end{gathered} \]

٤. التوازي

عند قطع مستقيمين متوازيين بمستقيم قاطع ينتج ثمانِ زوايا، تنشأ بينها العلاقات التالية:

مستقيمان متوازيان يقطعهما مستقيم قاطع

مستقيمان متوازيان AB و CD يقطعهما القاطع EF

داخليتان من جهة واحدة

متكاملتان (مجموعهما \(180°\))

خارجيتان من جهة واحدة

متكاملتان (مجموعهما \(180°\))

متبادلتان داخليًا

متساويتان في القياس

متبادلتان خارجيًا

متساويتان في القياس

متناظرتان

متساويتان في القياس

مثال (١):

\(AB \parallel CD\)، أوجد قيمتي \(x, y\):

مثال حسابي على التوازي

شكل توضيحي للمثال

\[ \begin{gathered} x = 80 \\ 2y = 80 + 100 \\ y = 50 \end{gathered} \]

مثال (٢) إثبات التوازي:

أثبت أن \(AB \parallel DC\):

إثبات التوازي بين مستقيمين

شكل توضيحي للإثبات

\[ \begin{gathered} m(\angle DAB) = 115° - 37° = 78° \\ m(\angle DAB) + m(\angle D) = 80° + 100° = 180° \end{gathered} \]

وبما أن زاويتين داخليتين من جهة واحدة متكاملتان \(\therefore AB \parallel DC\)

٥. مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع

مضلعات مختلفة (مثلث، رباعي، خماسي، سداسي)

لاحظ أنه كلما زاد عدد أضلاع المضلع ضلعًا واحدًا زاد مجموع قياسات زواياه الداخلية \(180°\)

المثلث: \(180°\)

الرباعي: \(360° = 180° \times 2\)

الخماسي: \(540° = 180° \times 3\)

السداسي: \(720° = 180° \times 4\)

السباعي: \(900° = 180° \times 5\)

القانون العام:

\[ \text{مجموع الزوايا الداخلية} = (n - 2) \times 180° \]

حيث \(n\) عدد أضلاع المضلع

مثال:

أوجد قيمة \(X\) في الشكل الرباعي \(ABCD\):

شكل رباعي لإيجاد قيمة X

شكل توضيحي للمثال

\[ \begin{gathered} 3X + 4X + 5X + 60 = 360 \\ 12X = 300 \\ X = 25 \end{gathered} \]

قياس كل زاوية داخلية من زوايا مضلع منتظم:

\[ \text{قياس الزاوية} = \frac{\text{مجموع قياسات الزوايا الداخلية}}{\text{عدد أضلاعه}} \]

المربع أو المستطيل

\(90°\)

الخماسي المنتظم

\(108°\)

السداسي المنتظم

\(120°\)

المثلث متساوي الأضلاع

\(60°\)

٦. الزاوية الخارجية للمثلث ومتباينة المثلث

الزاوية الخارجية للمثلث:

قياس الزاوية الخارجية لأي مثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها.

الزاوية الخارجية للمثلث

\(m(\angle ACD) = m(\angle A) + m(\angle B)\)

مثال:

في المثلث \(ABC\)، خارج عند \(C\)، إذا كان \(m(\angle A) = 22°\) و \(m(\angle B) = 82°\):

\[ X = 22° + 82° = 104° \]

متباينة المثلث:

مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.

متباينة المثلث - مقارنة أطوال الأضلاع

شرط تكوّن المثلث من ثلاثة أطوال

\(3, 4, 5\) سم

تصلح (لأن \(5 < 3+4\))

\(7, 2, 3\) م

لا تصلح (لأن \(7 > 2+3\))

\(12, 6, 6\) سم

لا تصلح (لأن \(12 = 6+6\))

٧. الأشكال الرباعية متوازية الأضلاع

خواص متوازي الأضلاع:

  • كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان في الطول.
  • كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس.
  • القطران ينصف كل منهما الآخر.
متوازي الأضلاع وخواصه

متوازي الأضلاع ABCD

الأنواع الخاصة من متوازي الأضلاع:

المعين

أضلاعه الأربعة متساوية في الطول، وقطراه متعامدان.

المستطيل

زواياه الأربع قوائم، وقطراه متساويان في الطول.

المربع

يجمع خواص المعين والمستطيل معًا.

مخطط أنواع متوازي الأضلاع (معين، مستطيل، مربع)

متى يكون الشكل الرباعي متوازي الأضلاع معينًا أو مستطيلًا أو مربعًا

٨. الإحداثيات: نقطة منتصف القطعة المستقيمة

المستوى الإحداثي ونقطة منتصف القطعة المستقيمة

نقطة منتصف القطعة المستقيمة \(AB\)

قانون نقطة المنتصف:

إذا كانت \(A(x_1, y_1)\)، \(B(x_2, y_2)\) فإن منتصف \(\overline{AB}\) هي النقطة \(M\) حيث:

\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

ملاحظات:

  • إذا كانت النقطتان تنتميان إلى أحد المحورين فإن مسقطها عليه هو نفسها ومسقطها على المحور الآخر هو نقطة الأصل.
  • مسقط القطعة المستقيمة \(AB\) على محور \(X\): \(A, B\) هما مسقطا \(A, B\) على الترتيب.
  • إذا كان طول قطعة مستقيمة يوازي محور \(Y\) فإن مسقطها عليه يساوي طولها.

مثال:

\(ABCD\) شكل رباعي فيه \(A(-3, 2)\)، \(D(1, 4)\)، \(C(5, 4)\)، \(B(7, 6)\)، أثبت أن \(ABCD\) متوازي أضلاع بإيجاد منتصفي القطرين:

\[ \begin{gathered} \text{منتصف } AC = \left( \frac{-3+5}{2}, \frac{2+4}{2} \right) = (1, 3) \\ \text{منتصف } BD = \left( \frac{7+1}{2}, \frac{6+4}{2} \right) = (4, 5) \end{gathered} \]

إذا تساوى منتصفا القطرين ينطبقان، فإن الشكل متوازي أضلاع (تأكد من الإحداثيات المستخدمة قبل الاعتماد على النتيجة).