الوحدة الثانية: الجبر - رياضيات أولى إعدادي ترم أول

١. التعبيرات الجبرية (الدرس الأول)

تعريف التعبير الجبري: هو تعبير رياضي يحتوي على أرقام ومتغيرات (رموز) وعمليات مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

التعبير العددي

يتكون من أرقام فقط

3 \times (-6) + 4

التعبير الجبري

يحتوي على متغيرات

\[ 5 + 6y - x \]

الحد الجبري والمقدار الجبري:

الحد الجبري: حاصل ضرب ثابت في متغير (مثل \(-3mn\)، المعامل \(-3\) والمتغيرات \(m, n\)).
المقدار الجبري: حد جبري واحد أو أكثر تفصل بينهم علامات (+ أو -) مثل \(3x + 2y - 5\).

الحدود المتشابهة:

هي الحدود التي لها نفس المتغيرات وبنفس الأسس (مثل \(3xy^2\) و \(-5y^2x\)).

3xy^2 \quad \text{و} \quad -5y^2x \quad \text{(حدود متشابهة)}

مثال على حساب القيمة العددية:

إذا كانت \(a = 2b\) و \(b = 15\)، أوجد قيمة \(a + 2b + 5\).

b = 15 \Rightarrow a = 2 \times 15 = 30 \] \[ \begin{gathered} a + 2b + 5 = 30 + (2 \times 15) + 5 \\ = 30 + 30 + 5 \\ = 65 \end{gathered}

٢. جمع وطرح المقادير الجبرية (الدرس الثاني)

قاعدة الجمع:

نجمع الحدود المتشابهة مع بعضها مع بقاء المتغيرات كما هي.

مثال:

\begin{gathered} (3x + 5) + (-2x - 1) \\ = (3x - 2x) + (5 - 1) \\ = x + 4 \end{gathered}

المعكوس الجمعي للمقدار:

هو تغيير إشارة كل حد في المقدار.

المعكوس الجمعي لـ \(7 - 3x\) هو \(-7 + 3x\) أو \(3x - 7\).

قاعدة الطرح:

لطرح مقدار جبري، نضيف المعكوس الجمعي للمقدار المطروح.

مثال:

اطرح \(2a - b\) من \(5a + 2b\)

\begin{gathered} (5a + 2b) - (2a - b) \\ = 5a + 2b - 2a + b \\ = 3a + 3b \end{gathered}

كلمات تدل على الطرح (١)

"اطرح A من B"
تعني \(B - A\)

كلمات تدل على الطرح (٢)

"ما زيادة A عن B"
تعني \(A - B\)

كلمات تدل على الطرح (٣)

"ما نقص A عن B"
تعني \(B - A\)

٣. المعادلات الخطية (الدرس الثالث)

تعريف المعادلة: جملة رياضية تعبر عن تساوي تعبيرين رياضيين.

حل المعادلة:

هو إيجاد قيمة المتغير التي تجعل طرفي المعادلة متساويين.

خطوات حل المعادلات الخطية:

نضع المتغير في طرف والثوابت في الطرف الآخر (باستخدام خاصية الجمع والطرح).
نقسم الطرفين على معامل المتغير (باستخدام خاصية الضرب والقسمة).
نتحقق من الحل (بالتعويض في المعادلة الأصلية).

مثال (١):

حل المعادلة \(3x + 1 = -2\)

\begin{gathered} 3x = -2 - 1 \\ 3x = -3 \\ x = -1 \end{gathered}

مجموعة الحل: \(\{-1\}\)

مثال (٢):

حل المعادلة \(2(x - 5) = 0\)

x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5

مجموعة الحل: \(\{5\}\)

تطبيق لفظي (مسألة كلامية):

عددان متتاليان مجموعهما 21، فما هما؟

\text{نفرض العددان: } x, x+1 \] \[ \begin{gathered} x + (x + 1) = 21 \\ 2x + 1 = 21 \\ 2x = 20 \\ x = 10 \end{gathered} \] \[ \text{العددان هما: } 10 \text{ و } 11

٤. قوانين وقواعد هامة

مساحة المستطيل

A = l \times w

الطول × العرض

محيط المستطيل

\[ P = 2(l + w) \]

٢ × (الطول + العرض)

مساحة المربع

A = s \times s = s^2

طول الضلع × نفسه

محيط المربع

\[ P = 4s \]

٤ × طول الضلع

المجموعات العددية:

\(\mathbb{N}\)

الأعداد الطبيعية

٠، ١، ٢، ٣، ...

\(\mathbb{Z}\)

الأعداد الصحيحة

... -٢، -١، ٠، ١، ٢، ...

\(\mathbb{Q}\)

الأعداد النسبية

الكسور والأعداد العشرية