الرياضيات

الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها

ملخص شامل لدروس الوحدة الأولى مع أمثلة وتطبيقات متنوعة

الصف الأول الإعدادي الترم الأول

١. التناسب (Proportion)

تعريفه: هو تساوي نسبتين أو معدلين على الأقل.

إذا كانت الكميات \(a, b, c, d\) متناسبة:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

فإن حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

\[ a \times d = b \times c \]

مثال على حل التناسب:

\[ \frac{x}{3} = \frac{4}{12} \Rightarrow x = \frac{3 \times 4}{12} = 1 \]

التمثيل البياني:

تمثل العلاقة تناسباً إذا كانت النقاط تقع على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل \((0, 0)\).

٢. تطبيقات النسبة والتناسب (مقياس الرسم)

القانون:

مقياس الرسم =
الطول في الرسم الطول الحقيقي

تكبير

إذا كان مقياس الرسم > ١

مثال: \(100:1\)

تصغير

إذا كان مقياس الرسم < ١

مثال: \(1:500\)

تحويلات هامة:

  • الكيلومتر = \(100{,}000\) سم
  • المتر = \(100\) سم

٣. التقسيم التناسبي (Proportional Division)

تعريفه: تقسيم شيء ما (مال، أراضي، كتل) بنسبة معلومة.

خطوات الحل:

  1. نوجد مجموع أجزاء النسبة
  2. نوجد قيمة الجزء الواحد
  3. نوجد نصيب كل فرد

تقسيم الميراث

  • نصيب الزوجة: \(\frac{1}{8}\) التركة (في حالة وجود أبناء)
  • نسبة الولد : البنت = \(2 : 1\)

الأرباح والخسائر

توزع بنسبة رأس مال كل شريك

٤. تطبيقات النسبة المئوية

التعريف: هي نسبة حدها الثاني ١٠٠.

حساب التخفيض (الخصم)

القيمة بعد الخصم = السعر الأصلي - قيمة الخصم

نسبة الخصم =
قيمة الخصم السعر الأصلي
× \(100\%\)

حساب الزيادة

القيمة بعد الزيادة = السعر الأصلي + قيمة الزيادة

مثال:

وجبة بـ ٥٤٠ جنيه يضاف إليها \(14\%\) ضريبة، تصبح بـ ٦١٥.٦ جنيه.

٥. المجموعات والعمليات عليها

التعبير عن المجموعة:

  • السرد: \(\{1, 2, 3\}\)
  • الصفة المميزة: \(\{x : x \in \mathbb{N}, x < 4\}\)

أنواع المجموعات:

  • منتهية
  • غير منتهية
  • خالية (\(\emptyset\) أو \(\{\}\))

الاحتواء:

\(A \subset B\) تعني أن كل عناصر \(A\) موجودة في \(B\)

التقاطع (\(\cap\))

العناصر المشتركة فقط

الاتحاد (\(\cup\))

كل العناصر بدون تكرار

٦. العمليات على الأعداد الصحيحة (\(\mathbb{Z}\))

القيمة المطلقة \(|x|\):

هي المسافة بين العدد والصفر، وهي دائماً موجبة.

الجمع والطرح

إذا تشابهت الإشارات نجمع، وإذا اختلفت نطرح ونضع إشارة الأكبر

الضرب والقسمة

\((+) \times (+) = (+)\)
\((-) \times (-) = (+)\)
\((+) \times (-) = (-)\)

العناصر المحايدة

المحايد الجمعي: \(0\)
المحايد الضربي: \(1\)

٧. العمليات على الأعداد النسبية (\(\mathbb{Q}\))

تعريفه: العدد الذي يمكن كتابته على صورة \(\frac{a}{b}\) حيث \(a, b\) أعداد صحيحة و \(b \neq 0\).

العدد الدائر:

\[ \overline{0.54} = \frac{6}{11} \]

المعكوس الضربي (المقلوب)

لـ \(\frac{3}{4}\) هو \(\frac{4}{3}\)

خاصية التوزيع

\[ a(b+c) = ab + ac \]

ملاحظة هامة:

الصفر هو العدد الوحيد الذي ليس له معكوس ضربي.