بنك المسائل والتمارين المحلولة

باستخدام خاصية حاصيل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين (المقص):

\(x \times 15 = 12 \times 5\)

\(x = \frac{12 \times 5}{15} = \frac{60}{15} = 4\)

النتيجة النهائية: \(x = 4\).

1. القانون: \(\text{مقياس الرسم} = \frac{\text{الطول في الرسم}}{\text{الطول الحقيقي}}\)

2. نعوض القيم: \(\frac{1}{500000} = \frac{6}{\text{الطول الحقيقي}}\)

3. الطول الحقيقي بالسنتيمترات = \(6 \times 500000 = 3,000,000\text{ سم}\)

4. للتحويل من سنتيمتر إلى كيلومتر، نقسم على \(100,000\):

\(\text{البعد الحقيقي} = \frac{3,000,000}{100,000} = 30\text{ كم}\)

1. مجموع الأجزاء = \(2 + 3 + 5 = 10\text{ أجزاء}\)

2. قيمة الجزء الواحد = \(\frac{1500}{10} = 150\text{ جنيه}\)

3. نصيب الأول = \(2 \times 150 = 300\text{ جنيه}\)

4. نصيب الثاني = \(3 \times 150 = 450\text{ جنيه}\)

5. نصيب الثالث = \(5 \times 150 = 750\text{ جنيه}\)

التحقق: \(300 + 450 + 750 = 1500\text{ جنيه}\) (إجابة صحيحة).

مقدار الخصم = \(\text{المبلغ الأصلي} \times \frac{\text{نسبة الخصم}}{100}\)

\(\text{الخصم} = 4000 \times \frac{15}{100} = 600\text{ جنيه}\)

السعر النهائي بعد الخصم سيكون \(4000 - 600 = 3400\text{ جنيه}\).

1. التقاطع (\(A \cap B\)): العناصر المشتركة في كلي المجموعتين:

\(A \cap B = \{3, 4\}\)

2. الاتحاد (\(A \cup B\)): جميع العناصر بدون تكرار:

\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)

3. الفرق (\(A - B\)): العناصر الموجودة في \(A\) وليست في \(B\):

\(A - B = \{1, 2, 5\}\)

1. تفكيك القيمة المطلقة: \(|-7| = 7\)

2. إجراء عملية القسمة: \((-18) \div 3 = -6\)

3. إجراء عملية الضرب: \(7 \times (-2) = -14\)

4. الجمع النهائي: \((-6) + (-14) = -20\)

النتيجة في الفراغ: -20

1. لاحظ تكرار الكسر \(\frac{5}{7}\)، ونكتفي بإعادته كعامل مشترك مع تذكر أن الحد الأخير \(- \frac{5}{7} = - \frac{5}{7} \times 1\):

\(=\frac{5}{7} \times (8 + 7 - 1)\)

2. نحسب ما داخل القوسين: \(8 + 7 - 1 = 14\)

\(=\frac{5}{7} \times 14 = 5 \times 2 = 10\)

النتيجة النهائية = 10.

الصورة القياسية تكون على الشكل \(a \times 10^n\) حيث \(1 \le |a| < 10\).

نحرك العلامة العشرية جهة اليمين 4 خانات لتصبح بين 7 و 3:

\(7.3 \times 10^{-4}\)

النتيجة: \(7.3 \times 10^{-4}\).

درجة الحد الجبري هي مجموع أسس الرموز المتغيرة فيه:

\(\text{الأسس} = 2 \; (\text{للرمز } x) + 3 \; (\text{للرمز } y) + 1 \; (\text{للرمز } z) = 6\)

إذن الحد من الدرجة السادسة، ومعامله هو \(-7\).

نجمع الحدود المتشابهة معاً:

1. حد \(x^2\): \(4x^2 + 2x^2 = 6x^2\)

2. حد \(xy\): \(-3xy + 7xy = +4xy\)

3. حد \(y^2\): \(5y^2 + (-2y^2) = +3y^2\)

المجموع = \(6x^2 + 4xy + 3y^2\)

معنى "ما زيادة الأول عن الثاني" = الأول - الثاني:

\(\text{الزيادة} = (5a + 2b - 3) - (2a - 3b + 4)\)

نوزع إشارة السالب على المقدار الثاني:

\( = 5a + 2b - 3 - 2a + 3b - 4 \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\((5a - 2a) + (2b + 3b) + (-3 - 4) = 3a + 5b - 7\)

القانون: \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\)

1. مربع الأول: \((3x)^2 = 9x^2\)

2. الأول × الثاني × 2: \(3x \times (-2) \times 2 = -12x\)

3. مربع الثاني: \((-2)^2 = +4\)

النتيجة: \(9x^2 - 12x + 4\)

نقسم كل حد من حدود المقدار على الحد المقسوم عليه:

1. \(\frac{15x^3 y^2}{5x^2 y^2} = 3x\)

2. \(\frac{-10x^2 y^3}{5x^2 y^2} = -2y\)

3. \(\frac{5x^2 y^2}{5x^2 y^2} = +1\)

خارج القسمة = \(3x - 2y + 1\)

1. بإضافة 7 للطرفين (أو نقل -7 بعكس الإشارة):

\(3x = 11 + 7 \implies 3x = 18\)

2. بالقسمة على 3 للطرفين:

\(x = \frac{18}{3} = 6\)

مجموعة الحل م.ح = \(\{6\}\).

1. نكّون الفرض: افرض أن العدد الأول هو \(x\)، فيكون الثاني \(x + 2\)، والثالث \(x + 4\).

2. نكّون المعادلة من المجموع:

\(x + (x + 2) + (x + 4) = 57\)

\(3x + 6 = 57 \implies 3x = 51 \implies x = 17\)

3. التعويض لإيجاد الأعداد الثلاثة:

العدد الأول = 17، الثاني = 19، الثالث = 21.

التحقق: \(17 + 19 + 21 = 57\) (صحيح).

1. الزاويتان المتتامتان مجموع قياسيهما \(90^\circ\):

\(m(\angle B) = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)

2. الزاويتان المتكاملتان مجموع قياسيهما \(180^\circ\):

\(\text{مكملة } \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)

بما أن مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة واحدة يساوي \(360^\circ\):

\(m(\angle AOD) = 360^\circ - (110^\circ + 90^\circ + 80^\circ)\)

\(m(\angle AOD) = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ\)

إذن قياس الزاوية المطلوبة = \(80^\circ\).

1. المعطيات: \(AB \parallel CD\)، والمستقيم \(EF\) قاطع لهما.

2. الزاويتان \(\angle AMN\) و \(\angle MND\) في وضع تبادل (على شكل حرف Z).

3. بما أن المستقيمين متوازيان، فإن كل زاويتين متبادلتين متساويتان في القياس:

\(m(\angle MND) = m(\angle AMN) = 65^\circ \quad (\text{بالتبادل})\)

1. المثلث المتساوي الأضلاع قياس كل زاوية من زواياه الداخلية = \(60^\circ\).

2. قياس الزاوية الخارجة = مجموع قياسي الزاويتين الداخلتين ما عدا المجاورة لها (أو المكملة للمجاورة):

\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

من خواص متوازي الأضلاع:

1. كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس:

\(m(\angle C) = m(\angle A) = 75^\circ\)

2. كل زاويتين متتاليتين متكاملتان (مجموعهما \(180^\circ\)):

\(m(\angle B) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\)

\(m(\angle D) = m(\angle B) = 105^\circ\)

قانون مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه \(n\) هو:

S = (n - 2) \times 180^\circ

بالتعويض عن الثماني (\(n = 8\)):

S = (8 - 2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ

النتيجة: 1080 درجة.

القانون: \(\text{الوسط الحسابي} = \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عدد القيم}}\)

\(\text{الوسط} = \frac{4 + 7 + 9 + 12 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10\)

1. حساب الوسيط:

نرتب القيم تصاعدياً: \(8, 11, 14, 14, 15, 19, 22\)

عدد القيم هو 7 (عدد فردي)، القيمة الوسطى هي القيمة الرابعة:

\(\text{الوسيط} = 14\)

2. حساب المنوال:

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً وشيوعاً، ونلاحظ تكرار العدد 14 مرتين:

\(\text{المنوال} = 14\)

قياس الزاوية المركزية لأي قطاع = \(\text{النسبة المئوية} \times 360^\circ\)

1. زاوية النشاط الرياضي (\(40\%\)):

\(\text{الزاوية} = \frac{40}{100} \times 360^\circ = 144^\circ\)

2. زاوية النشاط الثقافي (\(30\%\)):

\(\text{الزاوية} = \frac{30}{100} \times 360^\circ = 108^\circ\)