ملخص الإحصاء الكامل - الصف الثاني الإعدادي

مخطط الساق والأوراق

المسألة: جدول مخطط الساق والأوراق الموضح يمثل كتل عينة من الطلاب بالكجم. المطلوب: إيجاد عدد الطلاب الذين تقل كتلة كل منهم عن 70 كجم بتكوين الجدول التكراري وجدول التكرار المتجمع الصاعد.

البيانات (كتل الطلاب بالكجم)

الساق	الأوراق
5	0 2 5
6	3 3 4 6 8
7	1 2 2
8	0 3

المفتاح: \(6 \mid 3\) تمثل 63

السؤال والحل

أوجد عدد الطلاب الذين كتلة كل منهم < 70 كجم.

١. الجدول التكراري:

المجموعات	50-	60-	70-	80-
التكرار	3	5	3	2

٢. التكرار المتجمع الصاعد:

الحدود العليا	ت.م. الصاعد
أقل من 50	0
أقل من 60	3
أقل من 70	8
أقل من 80	11
أقل من 90	13

الإجابة: عدد الطلاب \(< 70=8\)

المدرج التكراري

المسألة: الجدول الآتي يمثل توزيع أسعار 130 سلعة بالجنيه. المطلوب: تمثيل البيانات باستخدام المدرج التكراري، وحساب النسبة المئوية لعدد السلع التي سعرها 300 جنيه فأكثر من واقع جدول التكرار المتجمع الصاعد.

البيانات (أسعار 130 سلعة)

الأسعار	100-	200-	300-	400-
التكرار	20	50	40	20

التكرار المتجمع الصاعد:

أقل من 100: 0
أقل من 200: 20
أقل من 300: 70
أقل من 400: 110
أقل من 500: 130

السؤال والحل

أوجد النسبة المئوية لعدد السلع التي سعرها 300 جنيه فأكثر.

\text{النسبة} = \frac{130 - 70}{130} \times 100\% = 46 \frac{2}{13}\%

مخطط القطاعات الدائرية

المسألة: البيانات الموضحة تمثل مدخرات 72 تلميذاً بالجنيه مقسمة بزوايا القطاعات الدائرية. المطلوب: رسم مخطط القطاعات الدائرية وحساب عدد التلاميذ الذين ادخروا 40 جنيهاً فأكثر.

البيانات (مدخرات 72 تلميذاً)

الزاوية \(45^\circ\)

الزاوية \(90^\circ\)

الباقي \(135^\circ\)

الحل

\(30- \rightarrow \frac{45}{360} \times 72 = \mathbf{9}\)
\(40- , 60- \rightarrow \frac{90}{360} \times 72 = \mathbf{18}\)
\(50- \rightarrow \frac{135}{360} \times 72 = \mathbf{27}\)

عدد التلاميذ الذين ادخروا 40 فأكثر:

\(72 - 9 = 63\)

مقاييس النزعة المركزية (للقيم المفردة)

المسألة: تطبيقات وقوانين إيجاد الوسط الحسابي، الوسيط، والمنوال لمجموعات البيانات المفردة (الأعداد الفردية والزوجية)، وطريقة حساب الأعداد المجهولة \(a\).

الوسط الحسابي

\overline{x} = \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عددها}}

مثال (١):

القيم: 3, 5, 4, 7, 6

\overline{x} = \frac{6+7+4+5+3}{5} = 5

مثال (٢): إيجاد مجهول

إذا كان وسط القيم \(a, 4, 7, 3\) هو 5

\frac{3+7+4+a}{4} = 5 \rightarrow 14+a=20 \rightarrow a=6

الوسيط (Median)

هو القيمة التي تتوسط القيم بعد ترتيبها.

عدد فردي: القيم 10, 8, 7, 5, 3
الوسيط = 7
عدد زوجي: القيم 10, 8, 7, 5, 4, 3
الوسيط = \(\frac{5+7}{2} = 6\)

المنوال (Mode)

هو القيمة الأكثر شيوعاً (تكراراً).

القيم: 7, 6, 2, 5, 2, 4 → المنوال = 2
القيم: 7, 4, 8, 4, 2, 8, 4 → المنوال = 4

مقاييس النزعة المركزية (للجدول التكراري)

المسألة: جدول تكراري للمجموعات. المطلوب: إيجاد المنوال بيانياً بالمدرج التكراري وخطوط التقاطع، وحساب الوسط الحسابي جبرياً بإيجاد المجاهيل \(k, l\) ومراكز المجموعات \(x_m\).

المنوال بيانياً

المجموعات	2-	4-	6-	8-	10-
التكرار	3	10	12	10	7

المنوال = 7

*(بتقاطع الخطين من أعلى فئة 4-6)*

الوسط الحسابي الجبري

المجموعات	5-	15-	k-	35-	45-	المجموع
عدد الطلاب (f)	3	10	12	l	5	40

الحل: \(l = 10\) ، \(k = 25\)

المجموعات	f	\(x_m\)	\(f \cdot x_m\)
5-	3	10	30
15-	10	20	200
25-	12	30	360
35-	10	40	400
45-	5	50	250
المجموع	40		1240

\overline{x} = \frac{\sum (f \cdot x_m)}{\sum f} = \frac{1240}{40} = 31

الوسيط (بيانياً وجبرياً)

المسألة: جدول يمثل توزيع أجور 50 عاملاً بالجنيه. المطلوب: حساب قيمة الوسيط جبرياً بتكوين جدول التكرار المتجمع، وتحديد قيمة الوسيط بيانياً برسم المنحنى المتجمع الصاعد وتحديد رتبة الوسيط (25).

توزيع الأجور بالجنيه (لعدد 50 عاملاً)

المجموعات	300-	400-	500-	600-	700-
عدد العاملين	8	12	18	7	5

الحل الجبري

الحدود العليا	ت.م. الصاعد
أقل من 300	0
أقل من 400	8
أقل من 500	20
قيمة الوسيط (\(Q_2\))	رتبة الوسيط (25)
أقل من 600	38
أقل من 700	45
أقل من 800	50

\because \frac{25 - 20}{38 - 20} = \frac{Q_2 - 500}{600 - 500} $$ $$ \therefore \frac{5}{18} = \frac{Q_2 - 500}{100} \quad \therefore Q_2 = 527 \frac{7}{9}

الحل البياني (المنحنى المتجمع)

رتبة الوسيط = \(\frac{50}{2} = \mathbf{25}\)

من المنحنى، الوسيط \(\approx\) 530

زر موقع اختباراتي

ملخص وحدة الإحصاء