الفصل الأول
اختبر
نفسك
البراهين الجبرية (النظرية والتطبيق)
المفهوم الأول: نظرية ذات الحدين ومتعددة الحدود
تستخدم مبرهنة ذات الحدين لفك المقادير المرفوعة لقوة صحيحة موجبة (ن) دون اللجوء للضرب المتكرر.
📐 الحد العام في مفكوك (أ + ب)ن
حر+١ = ن ق ر ×
أن-ر × بر
حيث ن ق ر = ن! ÷ (ر! × (ن-ر)!) وتسمى التوافيق
مثال ١: أوجد معامل س٢ في
مفكوك (١ + س)٥
الحل: ن = ٥، الحد المطلوب هو س٢ أي ر = ٢.
المعامل = ٥ ق ٢ = ٥! ÷ (٢! × ٣!) = ١٠
المعامل = ٥ ق ٢ = ٥! ÷ (٢! × ٣!) = ١٠
مثال ٢: مجموع معاملات مفكوك (أ -
ب)١٠
الحل: لإيجاد مجموع المعاملات نضع أ = ١، ب = ١.
(١ - ١)١٠ = ٠١٠ = ٠
(١ - ١)١٠ = ٠١٠ = ٠
📐 معامل مبرهنة متعددة الحدود (أ + ب + جـ ...)ن
المعامل = ن! ÷ (ن١! × ن٢! × ن٣! ×
...)
حيث ن١ + ن٢ + ن٣ + ... = ن (مجموع
الأسس = الأس الكلي)
مثال ٣: أوجد معامل
س٢ص٣ع في مفكوك (س + ص + ع)٦
الحل: ن = ٦، ن١ = ٢، ن٢ = ٣، ن٣ = ١.
المعامل = ٦! ÷ (٢! × ٣! × ١!) = ٧٢٠ ÷ (٢ × ٦ × ١) = ٦٠
المعامل = ٦! ÷ (٢! × ٣! × ١!) = ٧٢٠ ÷ (٢ × ٦ × ١) = ٦٠
مقارنة: ذات الحدين vs متعددة الحدود
| وجه المقارنة | مبرهنة ذات الحدين | مبرهنة متعددة الحدود |
|---|---|---|
| الاستخدام | فك مقدار ذو حدين (أ + ب)ن | فك مقادير تزيد عن حدين (أ + ب + جـ ...)ن |
| صيغة المعامل | التوافيق (ن ق ر) | ن! ÷ (ن١! × ن٢! × ن٣!) |
| عدد الحدود | ن + ١ | يعتمد على عدد المتغيرات والأس |
المفهوم الثاني: قسمة كثيرات الحدود والكسور النسبية
📐 نظرية الباقي
باقي قسمة ق(س) على (س - جـ) = ق(جـ)
إذا كان ق(جـ) = ٠ فإن (س - جـ) عامل من عوامل ق(س)
مثال: باقي قسمة (س٢ - ٥س
+ ٦) على (س - ٣)
الحل: نعوض بـ س = ٣ في كثير الحدود:
ق(٣) = (٣)٢ - ٥(٣) + ٦ = ٩ - ١٥ + ٦ = ٠ (الباقي صفر، أي أن (س - ٣) عامل)
ق(٣) = (٣)٢ - ٥(٣) + ٦ = ٩ - ١٥ + ٦ = ٠ (الباقي صفر، أي أن (س - ٣) عامل)
📐 تبسيط الكسور النسبية
(س٢ - ٩) ÷ (س + ٣) = (س - ٣)(س + ٣) ÷ (س + ٣) = س - ٣
يجب دائماً تحليل البسط والمقام إلى عوامل أولاً ثم الاختصار.
أخطاء شائعة
• نسيان تغيير الإشارات عند الطرح في خوارزمية القسمة المطولة.
• الضرب الجزئي في الحد الرئيسي فقط للمقسوم عليه.
• عدم توحيد المقامات قبل الجمع والطرح في الكسور النسبية.
• الضرب الجزئي في الحد الرئيسي فقط للمقسوم عليه.
• عدم توحيد المقامات قبل الجمع والطرح في الكسور النسبية.
المفاهيم ٣-٥: المتطابقات وإثبات المتباينات
المتطابقة
علاقة مساواة صحيحة لـجميع قيم المتغير في مجالها،
بخلاف المعادلة التي تصح لقيم محددة فقط.
متباينة AM-GM
(أ + ب) ÷ ٢ ≥ √(أ × ب)
المتوسط الحسابي دائماً ≥ المتوسط الهندسي (لأعداد غير سالبة).
المتوسط الحسابي دائماً ≥ المتوسط الهندسي (لأعداد غير سالبة).
📐 المتطابقة الشرطية: إذا كان أ + ب + جـ = ٠
أ٣ + ب٣ + جـ٣ = ٣ أ ب جـ
📐 متباينة المربع الكامل
(أ - ب)٢ ≥ ٠ ←← أ٢ + ب٢ ≥ ٢أب
مثال AM-GM: القيمة الصغرى لـ س + ٤/س
(حيث س > ٠)
الحل: بتطبيق AM-GM: (س + ٤/س) ÷ ٢ ≥ √(س × ٤/س) = √٤ = ٢
إذن: س + ٤/س ≥ ٤. القيمة الصغرى = ٤ عندما س = ٢.
إذن: س + ٤/س ≥ ٤. القيمة الصغرى = ٤ عندما س = ٢.